MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH  A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN  1. PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN  Ví dụ 1:   Ta gọi các hệ thức:     2   3   2 x   x          là một phương trình với ẩn số x.     3   2 y   y       là một phương trình với ẩn số y.  ...  từ đó ta có được định nghĩa về phương trình một ẩn:  Một biểu thức x có dạng:            A x   B x   trong đó vế trái       A x   và vế phải       B x   là hai biểu thức của cùng một biến x, gọi là phương trình một       Chú ý:     Hệ thức   x   m    (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là  nghiệm duy nhất của nó.     Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,..., nhưng cũng có thể không có nghiệm nào  hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.  Ví dụ 2:   Hãy cho ví dụ về:  a) Phương trình với ẩn y.  b) Phương trình với ẩn u.     Giải  Ta lần lượt có:     Phương trình với ẩn y là   3   4   0 y         .     Phương trình với ẩn u là   1   4   1 u   u         Ví dụ 3:   Khi   6 x      , tính giá trị mỗi vế của phương trình:       2   5   3   1   2 x   x               Giải  Với   6 x      thì:  2   5   2.6   5   17; VT   x                          3   1   2   3 6   1   2   17 VP   x                      .     Nhận xét:   Ta thấy hai vế của phương trình cùng nhận một giá trị khi   6 x      . Ta nói   6 x      là một  nghiệm của phương trình.  Ví dụ 4:   Cho phương trình       2   1   7   3 x   x             .  a.   2 x      có thỏa mãn phương trình không?  b.   2 x      có là một nghiệm của phương trình không?     Giảia. Thay   2 x      vào phương trình, ta được:            2   2   1   7   3   2   2   7   3   2   9   5,                                  sai.  Vậy   2 x      không thỏa mãn phương trình.  b. Thay   2 x      vào phương trình, ta được:      2 2   1   7   3   2   6   7   3   2   1   1,                               sai.  Vậy   2 x      không là nghiệm của phương trình.  2.   GIẢI PHƯƠNG TRÌNH  Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là   tập nghiệm   của phương trình đó và thường    Ví dụ 5:   Hãy điền vào chỗ trống (...):  a. Phương trình   2 x      có tập nghiệm là S = ....  b. Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S = ....     Giải  Ta lần lượt có:     Phương trình   2 x      có tập nghiệm là       2 S      .     Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là   S      .  Khi bài toán yêu cầu   giải một phương trình , ta phải tìm   tất cả các nghiệm   (hay   tìm tập nghiệm ) của  phương trình đó.  3. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG     Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.  Ví dụ 6:   Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?  2   0, x         (1)  1   3. x         (2)     Giải  Giải phương trình (1), ta được:      1 2   S   2 x            .  Giải phương trình (2), ta được:      2 2   S   2 x            .  Vậy, ta thấy   1   2 S   S    , do đó hai phương trình đã cho tương đương với nhau.     Nhận xét:  1.   Như vậy, để xét tính tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời giải trên chúng ta đi  giải từng phương trình rồi thực hiện phép so sánh hai tập nghiệm, và ở đây vì   1   2 S   S    nên chúng  ta kết luận   

Chuyên đề mở đầu về phương trình

PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  *   Quy tắc : Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:  .  .   .  A C   A C  B D   B D     .  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện phép tính  Phương pháp giải : Vận dụng quy tắc đã nêu trong phần   Tóm tắt lý thuyết     bài toán.  Bài 1.   Thực hiện các phép tính sau:  a)  2  3   2  8   4  .  15  x   y  y   x   với   0 x      và   0; y     b)  2   2  3  9   9  .  3   6  a   a  a   a       với   3 a      và   0. a     Bài 2.   Nhân các phân thức sau:  a)  2   2  4  4   7  .  17   12  n   m  m   n                  với   0 m      và   0; n     b)   3   2  3   6   2   18  .  (   9)   (   2)  b   b  b   b             với   2 b      và   9. b     Bài 3.   Thực hiện phép nhân các phân thức sau:  a)  2   2  3  2   20   50   2   2  .  5   5   4(   5)  u   u   u  u   u                với   5; u     b)  2   3  2  3   8   12   6  .  4   7   21  v   v   v   v  v   v                   với   3 v      và   2. v     Bài 4.   Làm tính nhân:  a)  2  2   2  3   1   25   10   1  .  10   2   1   9  x   x   x  x   x   x                với   1   1  ;   ;0;  5   3  x        b)  3   2  2  27   4  .  7   28   3   9  p   p   p  p   p   p                với   4. p   Dạng 2. Tính toán sử dụng kết hợp các quy tắc đã học  Phương pháp giải:   Sử dụng hợp lý 3 quy tắc đã học: quy tắc cộng, quy tắc trừ và quy tắc nhân để  tính toán.  Chú ý:  - Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức  với nhau.  - Ưu tiên tính toán đối với biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).  Bài 5.   Rút gọn biểu thức:  a)  4   2   3  3   2   4   2  4   8   3   3  .   .  2   2   12   1   4   8  t   t   t   t  t   t   t   t                      với   1; t     b)  3  2 1 .   1  2   1  y   y  y   y  y   y                           với   0 y      và   1. y     Bài 6.   Thực hiện các phép tính sau:  a)  6   3   2  3   6   3  2   3   3   1  .   .  1   1   2   3                        x   x   x   x   x  x   x   x   x   với   1; x     b)  3   2  2   2   1   2   1  .  3   15   1   1   2  a   a   a  a   a   a   a                                         với   5;   2;   1. a           Bài 7.   Tính hợp lý biểu thức sau:  2   4   8   16  1   1   1   1   1   1  .   .   .   .   .   ,  1   1   1   1   1   1  M   x   x   x   x   x   x                       với   1. x     Bài 8.   Rút gọn biểu thức:   , P   xy    biết   3   3  (3   3   )   2   2 a   b   x   b   a          với   a   b    và   2  (4   4 )   9(   ) a   b y   a   b         với   . a   b   HƯỚNG DẪN  Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:  a) Ta có  2   2  3   2   3   2  8   4   8 .4   32  .  15   15   .   15  x   y   x   y  y   x   y   x   xy       b) Ta có  2   2   2  3   3  9   9   9   .(   3)(   3)   3(   3)  .  3   6   (   3)6   2  a   a   a   a   a   a  a   a   a   a   a                       Bài 2.   Tương tự 1.

Chuyên đề phép nhân các phân thức đại số

RÚT GỌN PHÂN THỨC  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT    Bước   1. Sử dụng các   phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử     phân thức;  Bước   2. Sử dụng các   tính chất cơ bản của phân thức     II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Rút gọn phân thức  Phương pháp giải:   Thực hiện theo hai bước:  Bước   1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;  Bước   2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.  Bài 1: Rút gọn phân thức  3   4  3   2  17  34  xy z  A   x y z    2  2  4   7  y   xy  B   xy   y         2  2  25  5  x  C   x   x         2  2  x   xz   xy   yz  D   x   xz   xy   yz                              2  45   3  15   3  x   x  E   x x         2   2  3   2   2   3  3   3  y   x  G   x   x y   xy   y               Bài 2: Rút gọn phân thức  4   4  2   2  ax   a x  A   a   ax   x            3   2  3  6  4  x   x   x  B   x   x            2  2   2 a   ab  C   ac   ad   bc   bd                   2   2  2   2  4  9   6  x   a   x  D   a   x   ax                                 2  2  2   2  2   2  y   x   x   y  E   x   y   y   x               2  3  3   2  1  x   x  F   x          Bài 3: Rút gọn phân thức  3   2  2  5   6  4   10   4  x   x   x  A   x   x                  2   2  3   2   2   3  3   2  2   2  x   xy   y  B   x   x y   xy   y                      2   2  a   b   c  C   a   b   c               2   2   2  2   2   2  2  2  a   b   c   ab  D   a   b   c   ac                                                       3   3   3  2   2   2  b   c   c   a   a   b  F   a   b   c   b   c   a   c   a   b                                 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.  Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và  CD2.  Bài 4: Chứng minh đẳng thức.  2  3   3   6  )   2   3   2   6  x  a   x   x   x              2  3   2  2   2   6  )   4   7   12  x   x  b   x   x   x   x              Bài 5: Chứng minh đẳng thức.  5  4   3   2 1  )   1  1  x  a   x   x   x   x  x                     2   2  2   2  2  )   2   3  x   xy   y   x   y  b   x   xy   y   x   y                    Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.  Bước   1. Sử dụng các   phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử     phân thức;  Bước   2. Sử dụng các   tính chất cơ bản của phân thức     Bài 6: Cho   0  x   y   z  a   b   c           . Rút gọn biểu thức                   2   2   2   2   2   2  2  x   y   z   a   b   c  ax   by   cz                  Bài 7: Cho   0 ax   by   cz          . Rút gọn phân thức

Chuyên đề rút gọn phân thức

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 8 năm 2020 – 2021 trường Lương Thế Vinh – Hà Nội

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  HÌNH THOI  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  * Định nghĩa:   Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.  Nhận xét:   Hình thoi cũng là một hình bình hành.  * Tính chất:  - Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.  - Trong hình thoi:  + Hai đường chéo vuông góc vói nhau.  + Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.  * Dấu hiệu nhận biết:  - Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.  - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.  - Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.  - Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CB-NC  Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi  Phương pháp: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết  + Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.  + Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.  + Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.  + Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.  Bài 1.   Cho tứ giác   ABCD có AC = BD.   Gọi   E, F, G, H   theo thứ tự là trung điểm của các cạnh   AB,  BC, CD, DA.   Chứng minh tứ giác   EFGH   là hình thoi.2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Bài 2.   Cho hình bình hành   ABCD   có   AC   vuông góc với   AD.   Gọi   E, F   theo thứ tự là trung điểm của  các cạnh   AB, CD.   Chứng minh tứ giác   AECF   là hình thoi.  Dạng 2. Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học  Phương pháp: Sử dụng tính chất và định nghĩa của hình thoi để giải toán  + Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.  + Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.  -- Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau.  -- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.  + Ngoài ra, trong hình thoi có:  -- Hai đường chéo vuông góc với nhau.  -- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.  Bài 3.   Cho hình thoi   ABCD có B =   60°. Kẻ   AE      DC,   AF      BC.  a) Chứng minh   AE = AF.  b) Chứng minh tam giác   AEF     c) Biết BD = 16   cm,   tính chu vi tam giác   AEF.  Bài 4.   Cho hình thoi   ABCD,   gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh   AB, BC, CD, DA   lấy  theo thứ tự các điểm   M, N, P, Q   sao cho   AM = CN = CP = AQ.   Chứng minh:  a)   M, O, P   thẳng hàng và   N, O, Q   thẳng hàng;  b) Tứ giác   MNPQ   là hình chữ nhật.  Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi  Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình thoi.  Bài 5.   Cho hình thang   ABCD   gọi   M, N, P,   Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo  của hình thang.  a) Chứng minh rằng tứ giác   MPNQ   là hình bình hành.  b) Hình thang   ABCD   phải có thêm điều kiện gì để tứ giác   MPNQ   là hình thoi?  Bài 6.   Cho tam giác   ABC,   qua điểm D thuộc cạnh   BC,   kẻ các đường thẳng song song với   AB   và   AC,  cắt   AC   và   AB   theo thứ tự ở E và   F.  a) Tứ giác   AEDF   là hình gì?

Chuyên đề hình thoi

HƯ  NG D  N ÔN T  P GI  A H  C KÌ II  NĂM H  C 2020   -   2021  MÔN: TOÁN      L  P 8  I. KI  N TH  C TR  NG TÂM Ch        -   Bài   N   Phương   trình   b  c  nh  t m  t    n  -   Phương trình m  t    n, nghi  m c  a phương trình, gi  i phương  trình, phương trình tương đương;  -   Phương trình   b  c nh  t m  t    n và cách gi  i;  -   Phương trình đưa đư  c v    d  ng ax+b=0;  -   Phương trình tích;  -   Phương trình ch  a    n      m  u (d  ng toán chuy  n đ  ng, d  ng  toán có n  i dung s    h  c, d  ng toán năng su  t, d  ng toán có  n  i dung hình h  c) .    nh lý Ta let      Tính  ch  t     ng   phân  giác c  a tam giác  -     nh lý Talet thu  n và đ  o;  -   H    qu      nh lý Talet;  -   Tính ch  t đư  ng phân giác c  a tam giác.  Tam giác đ  ng d  ng   -   Khái ni  m hai tam giác đ  ng d  ng;  -   Các trư  ng h  p đ  ng d  ng c  a tam giác. II. BÀI T  P T    LU  N D  ng 1. Gi   Bài 1.   Gi   a) 12   2(   1)   3   5 x   x   ;   b) 2   6 (3   1)   2 7   7  x   x   ; c) (   1)   (   2)(   2) x x   x   x   ;   d) 5   2   5   3 3   2  x   x   ; e) 10   3   6   8 1 12   9  x   x   ;   f) 3   2   3   1   5   2 2   6   3  x   x   x   .  Bài 2.   Gi   a) 2   7   5   5   1   0 x   x   x   ;   b) 2 (   5)   5   0 x x   x   ; c) 2  (   3)   (5   )(   3)   0 x   x   x   ;   d) 2  (   2)(3   4 )   4   4 x   x   x   x   ;e) 2   2  4(2   7)   9(   4) x   x   ;   f) 2  (2   3 )(   2 )   9   6 x   x   x   x   .  Bài 3.   Gi   a) 1   5   15 1   2   (   1)(   2) x   x   x   x   ;   b) 2  2   2   1 2   2  x x   x   x   x   ; c) 2  1   1   4 1   1   1  x   x x   x   x   ;   d) 2 3   2  1   3   2 1   1   1  x   x x   x   x   x   ; e) 2   2  1   7   5   1 2   4   8   4   8   8   16  x   x x   x   x   x   x   x   ;   f) 2   2   2  1   1   2 3   2   5   6   4   3 x   x   x   x   x   x   ;  Bài 4.   Cho phương trình 3   2   2        mx   x   m   (m là tham s  ).  a) Tìm   m      phương trình có nghiệ m 2 x      ;  b) Tìm   m      phương trình vô nghiệm, phương trình có nghiệ m;  c) Khi phương trình có nghiệ m duy nh  t hãy tìm   m   nguyên để   phương trình có nghiệ m nguyên.  D  ng 2: Gi  i toán b  ng cách l   Bài 5.   Hai ô tô cùng khởi hành một lúc tại Hà Nội để đi đến Lào Cai. Ô tô thứ nhất đi với vận tốc 40km/h, ô tô thứ hai đi với vận tốc 50km/h. Biết rằng ô tô thứ nhất đến Lào Cai chậm hơn ô tô thứ hai 1 giờ 30 phút. Tính độ dài quãng đường Hà Nội –   Lào Cai.  Bài 6.   Một tàu chở hàng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 36 km/h. Sau đó 2 giờ, một tàu chở khách cũng đi từ đó với vận tốc 48km/h đuổi theo tàu chở hàng. Hỏi tàu khách đi bao lâu thì gặp tàu hàng .  Bài 7.   Hai xe máy khởi hành từ hai địa điểm A và B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ hai xe gặp nhau, biết   mỗi giờ xe đi từ A nhanh hơn xe đi từ B là 10km và quãng đường AB dài 120km. Tính vận tốc của mỗi xe.  Bài 8.   Một ca nô đi xuôi dòng từ A về B hết 6 giờ và ngược dòng từ B về A hết 9 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc dòng nước là 3km/ h.  Bài 9.   M  i th    m    l  p k    ho  i ngày ph  c 50  t  n than. Khi th  c hi  n, m  c 57   t   thành k    ho  c 1   ngày và còn vượ t m  c 13   t  n than. H  i theo k    ho  i ph  i khai thác bao nhiêu t  n than.  Bài 10.   M  t xí nghi  p kí h  ng d  t m  t s    t  m th  m len trong 20   ngày. Do c  i ti   thu  t d  t c  a xí nghi  20%   . B  i v  y, ch    trong 18   ngày, không nh  ng

Hướng dẫn ôn tập giữa kì 2 Toán 8 năm 2020 – 2021 trường Vinschool – Hà Nội

TUY  N T  P CÁC BÀI TOÁN GI  I BÀI TOÁN B  NG CÁCH L  P PHƯƠNG TRÌNH   Trang   1  L  P TOÁN TH  Y THÀNH      NGÕ 58 NGUY  N KHÁNH TOÀN      0975.705.122  TUY  N T  P  4 0 5 B    GI  I B  NG C   P PH    L  P 8  C          TTUY  N T  P CÁC BÀI TOÁN GI  I BÀI TOÁN B  NG CÁCH L  P PHƯƠNG TRÌNH   Trang   2  L  P TOÁN TH  Y THÀNH      NGÕ 58 NGUY  N KHÁNH TOÀN      0975.705.122  Câu 1. (Thầy Nguyễn Chí Thành)   Cho hai s    t    nhiên có hi  u là 9. N  u chia s    bé cho 8 và s    l  n cho  5 thì thương th    nh  t bé hơn thương th    hai cũng 9 đơn v  . Tìm hai s      Hướng dẫn  Gọi số bé   là x (   )  x      . Số lớn là: 9 x   +   .  Chia số bé cho 8 ta được thương là : 8  x   .  Chia số lớn cho 5 ta được thương là: 9 5  x   +  Vì thương thứ nhất bé hơn   t hương thứ hai 9 đơn vị nên ta có phương trình: (   )  9   9   8   9   5   360   3   288   96 5   8  x   x   x   x   x   x  +      =      +      =      =      =  .   (th  a mãn đi  u ki  n).  Vậy số bé là 96.  Số lớn là: 105.  Câu 2. (Thầy Nguyễn Chí Thành)   T  ng hai s    là 246. T  ng c  a 5 6   s    th    nh  t và 2,5 l  n s    th    hai b  ng  25. Tìm hai s      Hướng dẫ n  Gọi số thứ nhất là x   . Số thứ hai là: 246   x    . 5 6  s    th    nh  t là 5 6   x  2,5 l  n s    th    hai là (   )  2,5 246   x    .  Vì   t  ng   c  a 5 6   s    th    nh  t và 2,5 l  n s    th    hai b  ng 25   nên ta có phương trình: (   )   (   )  5   2,5 246   25   5   15 246   150   10   3540   354 6   x   x   x   x   x   x +      =      +      =      = −      =  .   (th  a mãn đi  u ki  n).  Vậy hai số cần tìm là 354 và 108    .  Câu 3. (Thầy Nguyễn Chí Thành)   Hai giá sách có 540 cu  n. N  u chuy  n 50 cu  n t    giá th    nh  t sang  giá th    hai th     sách giá th    hai s    b  ng 4 5   s    sách giá th    nh  t. Tính s    sách ban đ  u c  a m  i giá.  Hướng   dẫn  Gọi số thứ nhất là x   cuốn (   )  ,   540 x   x       . Số thứ hai là: 540   x    cuốn.  N  u ch uy  n 5 0 cu  n t    giá th    nh  t sang giá th    hai thì s    sách giá th    nh  t và giá th    hai là 50 x      và 590   x   .  Vì   sau khi chuy  n thì s    sách giá th    hai s    b  ng 4 5   s    sách giá th    nh  t   nên   ta có   phương trình:

Tuyển tập 405 bài toán giải bằng cách lập phương trình có đáp án chi tiết

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com    VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  * Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên    Khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn AH  hoặc độ dài đoạn A’H’.  * Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song  với b và cách b một khoảng bằng h.  a // b // a’  a và a’ cách b một khoảng bằng h.  * Nhận xét: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai    *   Ghi chú:   Ngoài ra, còn có các nhận xét sau:  - Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng r không đổi là đường tròn (O, r).  - Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng cố định là đường trung trực của đoạn  thẳng đó.  - Tập hợp các điểm nằm trong góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI CB-NC MINH HỌA  Dạng 1. Phát biểu tập hợp điểm (không chứng minh)  Phương pháp giải:   Vận dụng các tính chất để chi ra hình dạng của tập hợp các điểm cùng thỏa mãn  một điều kiện nào đó.  Bài 1.   2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  a) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng bằng   2 cm   là ...  b) Tập hợp đỉnh   A   các tam giác vuông   ABC   có cạnh huyền   BC   cố định và   BC   =   4cm   là ...  c) Tập hợp giao điểm O của hai đường chéo của hình chữ nhật   ABCD   có cạnh   BC   cố định là  ...  Bài 2.     a) Tập hợp các điểm cách điểm   A   cố định một khoảng bằng   1 cm   là...  b) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng   AB   cố định là ...  c) Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc là...  Dạng 2. Tìm quỹ tích (tập hợp các điểm)  Phương pháp giải:   Vận dụng các nhận xét về tập hợp điểm.  Bài 3.   Cho tam giác   ABC   và một điểm   M   nằm trên cạnh   BC.   Khi điểm M di chuyển trên cạnh   BC  thì trung điểm   I   của đoạn thẳng   AM   di chuyển trên đường nào?  Bài 4.   Cho tam giác   ABC   và một điểm   M   nằm trên cạnh   BC.   Qua M ta kẻ đường thẳng song song  với cạnh   AB,   cắt cạnh   AC   tại điểm   E   và đường thẳng song song với cạnh   AC,   cắt cạnh   AB   tại điểm  D. Khi điểm M di chuyển trên cạnh   BC   thì trung điểm   I   của đoạn thẳng   DE   di chuyển trên đường  nào?  Dạng 3.Tổng hợp  Bài 5.   Cho tam giác   ABC   cân tại A. Các điểm   D, E   theo thứ tự chuyển động trên cạnh   AB, AC   sao cho  AD = AE.   Trung điểm   I   của đoạn thẳng   DE   di chuyển trên đường nào?  Bài 6.   Cho đoạn thẳng   AB,      AB.   Vẽ về cùng về một phía của  nửa mặt phẳng bờ   AB   các tam giác đều   AMC   và   BMD.   Trung điểm   I   của đoạn CD di chuyển trên    Bài 7.   Cho đoạn thẳng   AB,      AB.   Vẽ về một phía của nửa mặt  phẳng bờ   AB   các tam giác   AMC   vuông cân tại C và tam giác   BMD   vuông cân tại D. Trung điểm   I  của đoạn CD di chuyển trên đường nào?  HƯỚNG DẪN

Chuyên đề đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  HÌNH THANG  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  *   Hình thang   là tứ giác có hai cạnh đối song song.  Hình thang   ABCD (AB // CD):  AB:     CD:     AD, BC:   cạnh bên.  *   Nhận xét :  - Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau.  - Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.  Hình thang   ABCD (AB // CD):  AD//BC     AD = BC; AB = CD  AB = CD     AD // BC; AD = BC.  *   Hình thang vuông   là hình thang có một góc vuông.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Tính số đo góc  Phương pháp giải:   Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc của một tứ giác.  Kết hợp các kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu ... để tính ra số đo các  góc.2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Bài 1.   Cho hình thang   ABCD (AB//CD)   có      0  60 . D     a) Tính chất  b) Biết       4   .  5  B  D      Tính    B   và    . C  Bài 2.   Cho hình thang   ABCD (AB//CD)   có             0  20 ,   2   . A   D   B   C          Tính các góc của hình thang.  Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang vuông  Phương pháp giải:   Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vuông.  Bài 3.   Tứ giác   ABCD   có   BC = CD   và DB là tia phân giác    D   . Chứng minh rằng   ABCD   là hình thang  và chỉ rõ cạnh đáy và cạnh bên của hình thang.  Bài 4.   Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ  giácABCD là hình gì ? Vì sao?  Dạng 3. Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình thang, hình thang vuông  Bài 5.   Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) hai tia phân giác của    B   và    C   cắt nhau ở I. Qua  I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F.  a) Tìm các hình thang.  b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F.  c) Chứng minh EF = BE + CF.  Bài 6.   Cho hình thang vuông ABCD có         0  90 A   D       , AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm và BH vuông  góc với CD tại H.  a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB.  b) Chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H.  c) Tính diện tích hình thang ABCD.  HƯỚNG DẪN  Bài 1.

Chuyên đề hình thang

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com    I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT     Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng:   Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng  d   nếu   d   là đường trung trực của đoạn thảng nối hai điểm ấy.  A      A'   qua   d     d   là trung trực của   AA'.  Khi đó ta còn nói:  A'      A   qua   d.  Hoặc  A   và   A'      d.  * Quy ước.   Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng là chính  nó.  * Hai hình đối xứng qua một đường thẳng:   Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng   d  nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng   d   và  ngược lại.  * Nhận xét:   Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thắng thì bằng  nhau.  * Hình có trục đối xứng:      d   gọi là trục đối xứng của hình   H   nếu điểm đối xúng với mỗi     H   qua đường thẳng   d   cũng thuộc hình   H  * Định lí:     cân đó.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO  Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng  Phương pháp giải:   Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xúng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một    Bài 1.   Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các đi K theo thứ tự trên AB, AC sao  cho AI = AK. Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua AH.  Bài 2.   Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Chứng minh rằng cạnh AB đối  xứng vói AC qua AM.  Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán  Phương pháp giải : Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, giác) đối xứng vói nhau qua một đường  thẳng thì bằng nhau.2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Bài 3.   Cho tam giác vuông ABC(    A   = 90°). Lấy M bất kì trên cạnh Gọi E, F lần lượt là các điếm đối xứng  với M qua AB và AC. Chứng minh: A là trung điểm của EF.  Bài 4.   Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (như hình vẽ). Tìm vị điểm C trên d để chu vi tam giác  ABC nhỏ nhất.  Dạng 3.Tổng hợp  Bài 5.   Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ K đối xứng với A qua  d.  a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua đường thẳng d; tìm đoạn thẳng đối xứng  với đoạn thẳng AC qua đường thẳng d.  b) Tứ giác AKCB là hình gì?  Bài 6.   Cho tam giác ABC, có    A   = 60°, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.  a) Chứng minh ∆BHC = ∆BMC.  b) Tính    BMC   .  Bài 7.   Cho tam giác   ABC.      C.   Chứng minh   AC  + CB < AM + MB.  Bài 8.   Cho tam giác nhọn   ABC.   Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi   E, F   lần lượt là các điểm đối xứng  vói M qua   AB   và   AC.   Gọi   I, K   là giao điểm của   EF   với   AB   và   AC.  a) Chứng minh rằng   MA   là tia phân giác của    IMK   .  b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm   P      AB   và   Q      AC      MPQ     nhất.  HƯỚNG DẪN  1.   Sử dụng tính chất của tam giác cân chỉ ra được AH là phân giác  của góc    IAK   . Tiếp tục chỉ ra được AH là đường trung trực của IK.  Từ đó suy ra điều phải chứng minh.  2.   Chứng minh được B đối xứng với C qua AM, A đối xứng với chính  A qua AM. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.  3.   Sử dụng tính chất đối xứng trục      AE = AF (=AM) (1).

Chuyên đề đối xứng trục

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  HÌNH BÌNH HÀNH  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT     Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.  Tứ giác   ABCD   là  hình bình hành  / /  D / /  AB   CD  A   BC           * Tính chất:   Trong hình bình hành:  - Các cạnh đối bằng nhau.  - Các góc đối bằng nhau.  - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.  * Dấu hiệu nhận biết:  - Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.  - Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.  - Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.  - Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.  - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO  Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.  Phương pháp giải:   Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình  hành.  Bài 1.   Cho hình bình hành   ABCD   . Gọi   E   và   F   theo thứ tự là trung điểm của   AB   và   CD   .  a)   Chứng minh rằng   / / AF   CE   .  b)   Gọi   , M   N   theo thứ   tự là   giao      của   BD   với   , AF   CE   .   Chứng   minh   rằng:  . DM   MN   NB      Bài 2.   Cho hình bình hành   , ABCD   O   là giao điểm của hai đường chéo,   E và F   theo thứ tự là trung     OD   và   . OB  a)   Chứng minh rằng   / /   . AE   CF  b)   Gọi   K   là giao điểm của   AE   và   DC   . Chứng minh rằng   1  2  DK   KC    .  Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành  Phương pháp giải:   Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Bài 3.   Cho tứ giác   . ABCD   Gọi   ,   ,   , E   F   G   H   theo thứ tự là trung điểm của   ,   ,   ,   . BD   AB   AC   CD  a)   Chứng minh rằng   EFGH   là hình bình hành.  b)   Cho   ,   . AD   a   BC   b       Tính chu vi của hình bình hành   . EFGH  Bài 4.   Cho   ABC    , trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C  cắt nhau tại D. CMR:  a)   BDCH   là hình bình hành.  b)         0  180 BAC   BDC      c)   ,   , H   M   D   thẳng hàng (   M   là trung điểm của   BC   ).  Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy  Bài 5.   Cho hình bình hành   ABCD   có   , E   F   lần lượt là trung điểm   ,   . AB   CD  a)   CMR:   / /   . AF   EC  b)   CMR:   . ED   BF   c)   Gọi   O   là giao điểm của   AC   và   BD   . CMR:   ,   , E   O   F   thẳng hàng.  d)   AF   cắt   ED   tại   , G   BF   cắt   EC   tại   H   . CMR:   ,   , G   O   H   thẳng hàng.  e)   CMR:   / / GH   CD   .  f)   Giả sử   4 AB   cm    . Tìm   GH   ?  Bài 6.   Cho hình bình hành   ABCD   . Lấy   , N   AB M   CD       sao cho   AN   CM    .  a)   CMR:   / /   . AM   CN  b)   CMR:   . DN   BM   c)   CMR:   ,   , AC   BD   MN     HƯỚNG DẪN  Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.  Bài 1.   Cho hình bình hành   ABCD   . Gọi   E   và   F   theo thứ tự là trung điểm của   AB   và   CD   .  a)   Chứng minh rằng   / / AF   CE   .  b)   Gọi   , M   N   theo thứ   tự là   giao      của   BD   với   , AF   CE   .   Chứng   minh   rằng:  . DM   MN   NB      Hướng dẫn giải  a)  Ta có   ABCD   là hình bình hành nên  AB   CD    (tc hbh).  Mà   , E F   là trung điểm cuả   AB   và   CD  AB   CF   BE   DF             .  Xét tứ giác   AECF   , có   (   )  AE   CF  AE   CF doAB   CD               AECF   là hình bình hành   AF   EC       .

Chuyên đề hình bình hành

  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT     Hai điểm đối xứng qua một điểm:   Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm o nếu o là trung    A      A'   qua O     O là trung điểm của   AA’.  Khi đó ta còn nói:  A'      A   qua O hoặc   A   và   A’     * Quy ước : Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O chính là điểm O.  * Hai hình đối xứng qua một điểm:   Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu một điểm bất kì  thuộc hình này đối xứng vói một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.  * Nhận xét:   Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau.  * Hình có tâm đối xứng:      H   nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc  hình qua điểm O cũng thuộc hình   H.  * Định lí:   Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.  O là tâm đối xứng của hình bình hành   ABCD.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN – NÂNG CAO  Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm  Phương pháp giải:   Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một    Bài 1.   Cho tam giác   ABC.   Gọi các điểm D,   E   theo thứ tự là trung điểm của   AB   và   AC.   Lấy   P     vói   B   qua tâm E và   Q      P, Q     tâm   A.  Bài 2.   Cho tứ giác   ABCD.   Gọi   M, N, P, Q   theo thứ tự là trung điểm của các cạnh   AB, BC, CD, DA.   Gọi  E là điểm bất kì nằm ngoài tứ giác, E là điểm đối xứng với E qua   M,   G là điểm đối xứng với E qua Q,  H là điểm đối xứng với G qua   P.   Chứng minh rằng E là điểm đối xứng với   H   qua điểm   N.Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán  Phương pháp giải:   Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng vói nhau qua một đuờng  thẳng thì bằng nhau.  Bài 3.   Cho tam giác   ABC.   Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh   AB   và   AC.   Một điểm   M   bất  kì thuộc cạnh BC, có điểm đối xứng vói M qua điểm F là Q và điểm đối xứng của   M   qua điểm F là   Q.  Chứng minh:  a)   A   thuộc đường thẳng   PQ;  b)   BCQP   là hình bình hành.  Bài 4.   Cho hình bình hành   ABCD.   Trên cạnh   AD   lấy điểm E và trên cạnh   CB   lấy điểm E sao cho   AE   =  CF. Chứng minh rằng hai điểm E, F đối xứng với nhau qua giao điểm của các đường chéo   AC, BD.  Dạng 3.Tổng hợp  Bài 5.   Cho tam giác   ABC      BC.   Từ D kẻ đường thẳng song song với cạnh   AB,   cắt cạnh  AC   tại   E   và đường thẳng qua D song song với   AC   cắt   AB   tai   F.   Chứng minh hai điểm   E   và   F     nhau qua trung điểm   I   của đoạn thẳng   AD.  Bài 6.   Cho hình bình hành   ABCD.   Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O  cắt các cạnh   AD, BC ở E   và F. Chứng minh   E   và   F     Bài 7   Cho góc   xOy.      A   nằm trong góc đó. Vẽ điểm   B      A   qua   Ox,   vẽ điểm C đối xứng với   A  qua   Oy.   Tính số đo góc   xOy      B     Bài 8.   Cho tam giác   ABC.   Vẽ điểm D đối xứng với B qua   A,   vẽ điểm   E      A.   Gọi   M   là     B   và C. Tia   MA   cắt   DE   tại   N.   Chứng minh   MC = NE.  HƯỚNG DẪN  1.  Ta có: BAPC và CAFB đều là hình bình hành  / /  / /  AP   BC  FA   BC           Vậy F,A,P thẳng hàng.  2.  Ta có EBFA, FAGD, GDHC đều là hình hành. Vậy BECH cũng l   bình hành.  Vậy E đối xứng với H qua N.  3.  a) Tương tự   1.   Ta chứng minh được A thuộc đường thẳng PQ.

Chuyên đề đối xứng tâm

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com    I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Đường trung bình của tam giác  * Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác   là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.  * Định lí 1:     thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.  * Định lí   2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.  2. Đường trung bình của hình thang  * Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang   là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình  thang.  * Định lí 3:     thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.  * Định lí 4:     II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO  Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh  Phương pháp giải:   Sử dụng            2 để suy  ra điều cân chứng minh.  Bài 1.   Cho tam giác   ABC   cân tại   A,   có   M   là trung điểm của   BC.   Kẻ tií   Mx   song song với   AC   cắt   AB  tại   E   và tia   My   song song với   AB   cắt   AC   tại   F.   Chứng minh:  a)   EF   là đường trung bình của tam giác   ABC ;  b)   AM   là đường trung trực của   EF.  Bài 2.   Cho tam giác ABC, có   AM   là trung tuyến ứng với   BC.   Trên cạnh   AB   lấy điểm D và   E   sao cho  AD = DE   =   EB.      AM   tại   I.   Chứng minh:  a)   EM   song song vói   DC;  b)   I   là trung điểm của AM;2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  c) DC = 4DI.  Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh  Phương pháp giải:   Sử dụng            3,        ra điều cần chứng minh.  Bài 3.   Cho hình thang vuông   ABCD   tại A và D. Gọi   E, F   lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng  minh:  a)    AFD   cân tại F;   b)       . BAF   CDF   Bài 4.   Cho hình thang   ABCD (AB//CD).   Các đường phân giác ngoài của    A   và    D   cắt nhau tại   E,   các      B   và    C   cắt nhau tại   F.   Chứng minh:  a)   EF   song song với   AB   và   CD;  b)   EF   có độ dài bằng nửa chu vi hình thang   ABCD.  Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang    Phương pháp giải:   Sử dụng              bình của hình thang và các      1, 2, 3, 4 để suy ra điều cần chứng minh.  Bài 5.   Cho hình thang   ABCD (AB//CD).   Gọi   M, N, P, Q   lần lượt là trung điểm của AD,   BD, AC, BC.  Chứng minh:  a) M,   N, P, Q   cùng nằm trên một đường thẳng;  b)   NP =   1   .  2   DC   AB   Bài 6.   Cho hình thang   ABCD (AB//CD)   với   AB = a, BC = b, CD   =   c   và DA =   d.   Các tia phân giác  của góc A và góc D cắt nhau tại   E,   các tia phân giác của    B   và    C   cắt nhau tại   F.   Gọi M,   N   theo thứ  tự là trung điểm của AD và   BC.  a) Chứng minh   M, E, N, F   cùng nằm trên một đường thẳng.  b) Tính độ dài   MN, MF, FN   theo   a, b, c, d.  Dạng 4.Tổng hợp

Chuyên đề đường trung bình của tam giác, của hình thang

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  HÌNH THANG CÂN  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Khái niệm  Hình thang cân   là hình thang có  hai góc kề một đáy bằng nhau.  2. Tính chất  - Trong hình thang cân, hai cạnh bên  bằng nhau.  - Trong hình thang cân, hai đuờng chéo  bằng nhau.  3. Dấu hiệu nhận biết  - Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.  - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.  Chú ý:   Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau không phải luôn là hình thang cân.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân  Phương pháp giải:   Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo và công thức  tính diện tích hình thang để tính toán.  1.   Cho hình thang cân   ABCD   ( AB // CD)   có       2 A   C    .   Tính các góc của hình thang cân.  2.   Cho hình thang cân   ABCD   ( AB // CD ) có       3 A   D    . Tính các góc của hình thang cân.  3.   Cho hình thang cân   ABCD (AB // CD ) có   AH   và   BK   là hai đường cao của hình thang.  A   B2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  a) Chứng minh   DH =   .  2  CD   AB   b) Biết AB = 6 cm, CD = 14 cm, AD = 5 cm, tính DH, AH và diện tích hình thang cân ABCD.  4.   Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có         0  60 A   B       , AB = 4,5cm; AD = BC = 2 cm. Tính độ  dài đáy CD và diện tích hình thang cân ABCD.  Dạng 2. Chứng minh hình thang cân  Phương pháp giải:   Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân.  5.   Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng  minh BCDE là hình thang cân.  6.   Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác. Chứng minh  BCHK là hình thang cân.  Dạng 3. Chứng minh các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau trong hình thang cân  7.   Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Gọi O là giao điểm của AD và BC; Gọi  E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:  a) Tam giác AOB cân tại O;  b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;  c) EC = ED;  d) OE là trung trực chung của AB và CD.  8.   Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ tia Mx song song  vói BC cắt AB ở D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E. Chứng minh        0  90   .  2  A  DME        HƯỚNG DẪN  1.  Ta có         0  180 A   D       và          2   2 A   C   D    

Chuyên đề hình thang cân

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  HÌNH CHỮ NHẬT  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT        Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.  Tứ giác   ABCD   là hình chữ nhật              0  90 . A   B   C   D               * Nhận xét:   Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân.  * Tính chất:  - Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành.  - Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân.  - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.  * Dấu hiệu nhận biết:  -Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.  - Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.  - Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.  - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.  * Áp dụng vào tam giác vuông:  - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.  - Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam  giác vuông.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DANG BÀI MINH HỌA CB-NC  Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật  Phương pháp giải:   Vận dụng các dấu hiệu nhận biết đê chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Bài 1:   Cho tứ giác   ABCD   có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi   ,   ,   , E   F   G   H   theo thứ tự là  trung điểm của các cạnh   ,   ,   ,   . AB   BC   CD   DA  a) Chứng minh   EFGH   là hình bình hành.  b) Tứ giác   EFGH   là hình gì?  Bài 2:   Cho tam giác   ABC   vuông cân tại   . C   Trên các cạnh   , AC   BC   lần lượt lấy các điểm   , P   Q   sao cho  . AP   CQ    Từ điểm   P   vẽ   PM   song song với        . BC   M   AB   a) Chứng minh   PM   CQ    .  b) Chứng minh tứ giác   PCQM   là hình chữ nhật.  Bài 3:   Cho tam giác   ABC   , các trung tuyến   BM   và   CN   cắt nhau tại   G   . Gọi   P   là điểm đối xứng  của   M   qua   G   , gọi   Q   là điểm đối xứng của   N   qua   G   .  a) Tứ giác   MNPQ   là hình gì? Vì sao?  b) Nếu   ABC    cân ở   A   thì tứ giác   MNPQ   là hình gì? Vì sao?  Dạng 2: Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học.  Phương pháp giải : Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình chữ  nhật.  Bài 4:   Cho hình chữ nhật   . ABCD   Nối   C   với một điểm   E   bất kỳ trên đường chéo   . BD   Trên tia đối  của tia   EC   lấy điểm   F   sao cho   . EF   EC    Vẽ   FH   và   FK   lần lượt vuông góc với đường thẳng   AB  và   AD   tại   H   và   . K   Chứng minh   rằng:  a) Tứ giác   AHFK   là hình chữ nhật;  b)   AF   song song với   ; BD  c*) Ba điểm   ,   , E   H   K   thẳng hàng.  Bài 5:   Cho tam giác   ABC   vuông ở   A   , đường cao   AH   . Gọi   , E F   lần lượt là chân đường vuông góc  kẻ từ   H      , AB AC   .  a) Tứ giác   EAFH   là hình gì?

Chuyên đề hình chữ nhật

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT        Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc  tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.  GT        ABC,   A 'B 'C '  AB   BC   ,B   B '  A 'B '   B 'C '            KL   ABC   A 'B 'C '       II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng  Phương pháp giải:  Bước 1:   Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau và chứng minh (nếu cần);  Bước 2:   Lập tỉ số các cạnh tạo nên mỗi góc đó, rồi chứng minh chúng bằng nhau;  Bước 3:   Từ đó, chứng minh hai tam giác đồng dạng.  1.   Cho    xOy   , trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D. Chứng minh rằng  AOB   COD        nếu biết một trong các trường hợp sau:  a)   OA   OB   ;  OC   OD     b)   OA.OD   OB.OC.   2.   Cho    xoy   , trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D. Chứng minh rằng  AOD   BOC        nếu   OA   4cm,OC   15cm,OB   6cm          và   OD   10cm.   3.   Cho hình thang ABCD       AB   CD    , biết   AB   9cm,BD   12cm,DC   16cm.          Chứng minh  ABD   BDC.       4.   Cho    xoy   , trên Ox lấy điểm A sao cho   OA   4cm,    trên Oy lấy các điểm B và C sao cho  OB   2cm,OC   8cm.       Chứng minh rằng   AOB   COA.       Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài các cạnh hoặc chứng  minh các góc bằng nhau  Phương pháp giải:   Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (nếu cần) để chứng minh hai tam  giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng còn  lại bằng nhau.  5.   Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Lấy điểm E  trên DH và điểm K trên BC sao cho   DE   CK  DH   CB     . Chứng minh:  C' B'  A'  C B  A2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  a)   ADE   ACK;        b)   AEK   ADC;       c)      0  AEK   90    .  6.   Cho hình thang ABCD biết         0  A   D   90 .       Trên cạnh AD lấy điểm I sao cho   AB.DC   AI.DI.   Chứng minh:  a)   ABI   DIC;        b)      0  BIC   90    .  7.   Cho hình thoi ABCD,      0  A   60 .    Qua C kẻ đường thẳng d bất kì cắt các tia đối của các tia  BA, DA theo thứ tự tại E và F. Gọi I là giao điểm của BF và ED. Chứng minh:  a)   EB   AD   ;  BA   DF     b)   EBD   BDF;       c)      0  BID   120 .   8.   Cho hình bình hành ABCD,      0  A   90 .    Kẻ   AH   CD    tại H,   AK   BC    tại K. Chứng minh:  a)   AH   DA   ;  AK   DC     b)       AKH   ACH.   HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC DẠNG BÀI  1A.   a) Có   nên ta chứng minh được  b) Có OA.OD = OB.OC       2.   Chứng minh được  3.   Ta chứng minh được   và   .  Từ đó suy ra  4.   Chứng minh được  và   nên ta có  5.   a) Ta chứng minh được  OA   OB  OC   OD    ( . . ) AOB   COD   c g c       OA   OB  OC   CO       ( . . ) AOD   BOC   c g c           ABD   BDC    3  4  AB   BD  BD   DC       ( . . ) ABD   BDC   c g c       1  2  OA   OB  OC   OA           AOB   COA    ( . . ) AOB   COA c g c       (1)  DE   DH  CK   CB  

Chuyên đề trường hợp đồng dạng thứ hai

TỨ GIÁC  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  * Tứ giác ABCD   là hình gồm bốn đoạn thẳng   AB, BC, CD   và   DA ; trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào  cũng không nằm trên một đường thẳng.  * Tứ giác lồi   là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào  của tứ giác.  * Chú ý:   Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.  a) Tứ giác lồi   b) Tứ giác không lồi  a) Tứ giác không lồi   b) Không phải tứ giác  * Định lý:   Tổng các góc của một tứ giác bằng 360 0 .  * Mở rộng:   Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 360 0 .  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN  Dạng 1. Tính số đo góc  Phương pháp giải:   Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học về  tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu... để tính ra số đo các góc.  Bài 1.   Cho tứ giác   ABCD   biết             :   :   : A B C   D   =   4 : 3 : 2 : 1 .  a) Tính các góc của tứ giác   ABCD.b) Các tia phân giác của    C   và    D   cắt nhau tại   E.   Các đường phân giác của góc ngoài tại các đỉnh C và D  cắt nhau tại F .   Tính    D CE   và    D. CF  Bài 2.   Tính số đo các góc    C   và    D   của tứ giác   ABCD   biết    A   = 120°,    B   =   90° và       2   . C   D   Dạng 2. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác  Phương pháp giải:   Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức tam giác.  Bài 3.   Cho tứ giác   ABCD.   Chứng minh:  a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;  b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.  Bài 4.   Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:  a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD ;  b) MA   +   MB + MC + MD ≥   1  2   (AB + BC + CD + DA).  Dạng 3.Tổng hợp  Bài 5.   Cho tứ giác   ABCD   có   AB = AD, CB   = CD (ta gọi tứ giác   ABCD   trong trường hợp này là tứ giác  có hình   cánh diêu).  a) Chứng minh   AC   là đường trung trực của   BD.  b) Tính       , B D   biết    A   =   100°,    C   = 60°.  Bài 6.   Tứ giác   ABCD   có         0  50 . A   B       Các tia phân giác của       , C D   cắt nhau tại   I   và    CID   = 115 0 . Tính  các góc       , A B   .  Bài 7.  a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vuông góc, tổng bình phương của hai cạnh đối này  bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.  b) Tứ giác   ABCD   có   AC   vuông góc với   BD . Biết   AD   = 5cm,   AB   = 2 cm,   BC   = 10 cm. Tính độ dài   CD.  Bài 8.   Cho tứ giác ABCD có       A   B    và   BC = AD . Chứng minh:  a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra   BD   =   AC ;  b)       D   D; A   C   BC 

Chuyên đề tứ giác

KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG  I. KIẾN THỨC CƠ BẢN       - Hai tam giác gọi là      với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau đôi một và ba  cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.  - Ta có                  ';   ';   '  '   '   '  '   '   '   '   '   '  A   A B   B   C   C  ABC   A B C   AB   BC   CA  A B   B C   C A                                            Tính chất  a) Mỗi tam giác đồng dạng với chính tam giác đó (hoặc nói: Hai tam giác bằng nhau thì đồng  dạng với nhau).  b) Nếu   '   '   ' ABC   A B C        theo tỉ số k thì   '   '   ' A B C   ABC        theo tỉ số   1   .  k  c) Nếu   '   '   ' ABC   A B C        và   '   '   '   "   "   " A B C   A B   C        thì   ABC   A"B"C ".            Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo  thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.  GT       //   ,  ABC  DE   BC D   AB E   AC         KL   ADE   ABC       II.DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN  Dạng 1.   Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác cho trước.Chứng minh hai tam giác đồng dạng  PHƯƠNG PHÁP GIẢI  1.   Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác cho trước.     Xác định tỉ số đồng dạng.     Kẻ đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.  2.   Chứng minh hai tam giác đồng dạng.     Sử dụng định nghĩa hoặc định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng.  VÍ DỤ  Ví dụ 1.   Cho tam giác   ABC   . Hãy vẽ tam giác đồng dạng với tam giác   ABC   theo tỉ số đồng  dạng:a)   2  3  k      ;   b)   4  3  k      .  Ví dụ 2.   Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Trên tia     ABC.  Ví dụ 3.   Từ điểm D trên cạnh AB của tam giác ABC, kẻ một đường thằng song song với  AB tại F; BF cắt AC ở I. Tìm cặp tam giác đồng dạng.  Ví dụ 4.   Cho hình thang ABCD (AB//CD) có CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của DC.  Chứng minh ba tam giác EDA, ABE, CEB đồng dạng với nhau.  Dạng 2: Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua các tam giác đồng dạng.  Ví dụ 5.   Cho 2 tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau theo tỉ số k. Chứng minh tỉ số  chu vi hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng k.  Ví dụ 6.   Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. Kẻ một đường thẳng  song song với BC, cắt các cạnh AB và AC tại E và F. Biết AE = 2cm, tính tỉ số đồng dạng  của AEF, ABC và độ dài các đoạn cạnh AF, EF.  Ví dụ 7.   Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 8cm, AC = 7cm. Điểm D nằm trên cạnh BC  sao cho BD = 2cm. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB lần  lượt tại F và E.  a)   Chứng minh BDE   DCF  b)   Tính chu vi tứ giác AEDF  Dạng 3: Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua các tam giác đồng dạng.  Ví dụ 8.   .   Cho hình bình hành ABCD có AB = 6cm, AD = 5cm. Lấy F trên cạnh BC sao cho  CF = 3cm. Tia DF cắt tia AB tại G.  a)   Chứng minh GBF   DCF và GAD   DCF  b)   Tính độ dài đoạn thẳng AG  c)   Chứng minh AG.CF = AD.AB  Ví dụ 9.   Cho tam giác ABC, kẻ Ax song song với BC. Từ trung điểm M của cạnh BC, kẻ  một đường thẳng bất kì cắt Ax ở N, cắt AB ở P và cắt AC ở Q. Chứng minh:   PN   QN  PM   QM     .

Chuyên đề khái niệm hai tam giác đồng dạng

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC  I. KIẾN THỨC CƠ BẢN  1. Định lý  Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai  cạnh kề hai đoạn ấy.        .  ABC   DB   AB  DC   AC BAD   CAD                     2. Chú ý  *                .  ABC   AB   AC   EB   AB  EC   AC BAE   CAE                        *   Các định lý trên có định lý đảo  DB   AB   AD  DC   AC        là đường phân giác trong của tam giác.  EB   AB   AE  EC   AC        là đường phân giác ngoài của tam giác.  II. BÀI TẬP MINH HỌA  A.DẠNG BÀI CƠ BẢN  DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng  PHƯƠNG PHÁP GIẢI       số hóa hình học.6   5  Hình 286  E C   D  A  5t  4t  4  5  Hình 287  D  A  B   C  24cm  Hình 288  E   C  A  B       VÍ DỤ  Ví dụ 1.   Cho tam giác   ABC   có   5   ,   7 AB   cm BC   cm       và   6 CA   cm    . Tia phân giác của góc   BAC  cắt cạnh   BC      E   . Tính các đoạn   , EB EC   .  Lời giải   (hình 286)     AD   vào tam giác   ABC  và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  EB   EC   EB   EC   BC  BA   CA   BA   CA   BA   CA                  ,  Hay   7   35   42  (   );   (   )  5   6   11   11   11  EB   EC   EB   cm   EC   cm                .  Ví dụ 2.   Cho tam giác   ABC   vuông ở   A   , đường phân giác   BD   . Tính   , AB BC   biết   4 AD   cm    và  5 DC   cm    .  Lời giải   (hình 287)     BD   vào tam giác   ABC   , ta được:  4 4  5 5  AB   t AB   DA  BC   t BC   DC                            (với   0 t      ).     ABC   vuông ở   A   , ta được:  2   2   2  BC   CA   AB       hay   2   2   2  (5 )   9   (4 ) t   t      2   2  (3 )   9   3   9   3 t   t   t                   (vì   0 t      ).  Vậy   12(   );   15(   ) AB   cm   BC   cm       .  Ví dụ 3.   Cho tam giác   ABC   có   24   ,   3 BC   cm AC   AB       . Tia phân giác của góc ngoài tại   A   cắt     BC      E   . Tính độ dài   EB   .  Lời giải   (hình 288)     AE   vào tam giác   ABC   , ta được:  1  3   3   1   3  EB   BA   BA   EB   EC  EC   CA   BA                 .    24   12(   )  1   3   3   1   2   2  EB   EC   EC   EB   BC   cm                    Vậy   12 EB   cm    .  DẠNG 2.Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác

Chuyên đề tính chất đường phân giác của tam giác

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT        Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì  hai tam giác đó đồng dạng.  G  T              ABC,   A 'B 'C '  A   A',B   B '            K  L   ABC   A 'B 'C '       II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng  Phương pháp giải:   Chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau trong hai tam giác để suy ra  hai tam giác đồng dạng.  1.   Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song  với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:  a)   ABD   ECD;        b)   ACE    cân tại C.  2.   Hình thang ABCD       AB   CD    , có       DAB   CBD    .Chứng minh   ABD   BDC.       3.   Cho   ABC    có AM là phân giác của          BAC M   BC    . Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng  bờ BC không chứa A sao cho       1  BCx   BAC.  2     Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng  minh:  a)   BM.MC   MN.MA;    b)   ABM   ANC;       c) Tam giác BCN cân.  4.   Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến d qua A bất kì cắt đường chéo BD tại E và  các đường thẳng BC, CD lần lượt tại F và G. Chứng minh:  a)   GCF   GDA;        b)   GCF   ABF;       c)   GDA   ABF        và tích số   BF.DG   luôn không đổi khi d quay quanh A.  Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng  minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau  Phương pháp giải:   Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai  tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương    5.   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:  a)   2  AB   BH.BC;    b)   2  AH   BH.HC.   C' B'  A'  C B  A2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  6.   Cho tam giác ABC vuông tại A, Q là điểm trên AC. Gọi D là hình chiếu của Q trên BC  và E là giao điểm của AB và QD. Chứng minh:  a)   QA.QC   QD.QE;    b)   AB.AE   AQ.AC.   7.   Cho tam giác ABC       AB   AC    , đường phân giác trong AD. Gọi M và N theo thứ tự  là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Chứng minh:  a)   BM   AB   ;  CN   AC     b)   AM.DN   AN.DM.   8.   Cho tam giác ABC       AB   AC    , đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA  lấy điểm I sao cho       ACI   BDA.    Chứng minh:  a)   ABD   AIC;        b)   ABD   CID;       c)   2  AD   AB.AC   DB.DC.      HƯỚNG DẪN  PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN  Bài 1:   Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song  song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:  a)   ; ABD   ECD        b)   ACE    cân tại C.  Bài 2:   Cho hình thang ABCD có AB//CD,   4 AB   cm    , DB = 6cm và       A   CBD    . Tính    Bài 3:   Cho      ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.  a) Chứng minh:      ABK         CBA. Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.  b) Chứng minh:   ABK   CAK       c) Chứng minh:   CAK   CBA       Bài 4:   Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao  cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt  CO, OA lần lượt ở E và F.  a) Chứng minh:   FCM   OBM        và   PAE   PBO       b) Chứng minh:   .   .   1  MB   NC   PA  MC   NA   PB      .  Bài 5:   Cho   ABC    có 3 góc nhọn, các đường cao   ,   , AD   BE   CF   cắt nhau ở   H   . Chứng  minh:  a)   .   .   . AD BC   BE AC   CF AB      b)   .   . AD HD   DB DC    và suy ra các hệ thức tương tự  c)   ABH   EDH        và suy ra các kết quả tương tự

Chuyên đề trường hợp đồng dạng thứ ba

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông  Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:  - Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.  - Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông  kia.  2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng  Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh  góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.  3. Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác của hai tam giác đồng dạng  - Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.  - Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.  - Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.  4. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng  Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng  Phương pháp giải:   Có thể sử dụng một trong các cách sau:  Cách 1:   Cách 2:   Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.  1.   Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:  a)   BEH   CDH;        b)   EHD   BHC.       2.   Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Qua điểm M bất kì trên BC, vẽ đường thẳng  vuông góc với BC, cắt AC, AB lần lượt tại D, E. Chứng minh:  a)   ABC   MDC;        b)   EAD   EMB.       3.   Cho hình thang vuông ABCD tại A và D,   AB   6cm,CD   12cm       và   AD   17cm.    Trên cạnh  AD, lấy E sao cho   AE   8cm    . Chứng minh      0  BEC   90 .   4.   Cho tam giác ABC vuông tại A với   AC   4cm    và   BC   6cm.    Kẻ tia Cx vuông góc với BC  (tia Cx và điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho  BD   9cm.    Chứng minh BD song song với AC.  Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán  Phương pháp giải:   Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để  chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp  cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh.  5.   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  a) Chứng minh   2  AB   BH.BC;    b) Chứng minh   2  AH   BH.CH;   c) Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh   BAP   ACQ;       d) Chứng minh   AP   CQ.   6.   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông  góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh:  a)   2  AH   AM.AB;    b)   AM.AB   AN.AC.   c)   AMN   ACB.       7.   Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ   CE   AB    tại E,   CF   AD    tại F,   BH   AC    tại  H và   DK   AC    tại K. Chứng minh;  a)   AB   AH   ;  AC   AE     b)   AD.AF   AK.AC;   c)   2  AD.AF   AB.AE   AC .      8.   Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh  2  BC   BH.BD   CH.CE.      Dạng 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác  Phương pháp giải:   Sử dụng định lý tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình  phương tỉ số đồng dạng.  9.   Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm  của DF và CE. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE.  10.   Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt  AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tích các tam  giác EBD và FDC lần lượt bằng   2  a   và   2  b   , hãy tính diện tích tam giác ABC.  HƯỚNG DẪN CÁC DẠNG BÀI  1A. a)  b) Có   ta suy ra  Từ đó chứng minh được  1B.   HS tự chứng minh  2A.   Ta chứng minh được  Từ đó ta có   suy ra   (ĐPCM)  2B.   Ta chứng minh được  Từ đó suy ra BD//AC (ĐPCM)  (   ) BEH   CDH g   g          BEH   CDH        HE   HB  HD   HC    ( . . ) EHD   BHC c g c           ( . . ) ABE   DEC c g c   AEB   ECD                   0  90 DEC   AEB          0  90 BEC         ABC   CBD   ACB   CBD           

Chuyên đề các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Hình 269  E D  A  C B  a  Hình 270a  B'   C'  A  C B  a  Hình 270b  C'   B'  B   C  A  x  9,5  28,5  8  Hình 271a  B   C  A  E D    I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  1.     Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên  hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó  song song với cạnh còn lại của tam giác.  ABC  DE   BC AD   AE  DB   EC                           .  2.   Hệ quả của định lí Ta-lét  Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành  một tam giác mới có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.  ABC   AB   AC   BC  BC   B C   AB   AC   B C                                              .  Chú ý:   Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng   a   song song với một cạnh của tam giác  và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.  II.BÀI TẬP MINH HỌA  A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN  DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau  PHƯƠNG PHÁP GIẢI  1.   Tính độ dài đoạn thẳng:  Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.    Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.  2.   Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau cách sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét  hoặc tính chất của đường thẳng song song cách đều.  VÍ DỤ  Ví dụ 1.   Tính các độ dài   , x y   trong hình 271.  Lời giải  a)      DE   BC    , ta được:  BC   AB  DE   AD     hay   28, 5  8   9, 5  x     8.28, 5   456   31, 58  9, 5   19  x             .2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  x  4,2  y  3  6  Hình 271b  B'  C  B A  O  A'  4  8  Hình 272  H   K A   C  B  D  t   10  1   1   1   1   1  Hình 273a  D   E   F   G   H  O  A   I   K   L   M   B  C  x  Hình 273b  C  D  E  F  A   I   K   L   M   B  G  b)   Từ hình 271b ta thấy   A B   AB          vì cùng vuông góc với   AA    .     A B   AB          , ta được:   AB   AO  A B   A O             hay  6   4, 2.2   8, 4  4, 2   3  x   x             .     OAB   vuông ở   A   , ta được:  2   2   2  OB   BA   AO       hay   2   2   2  8, 4   6   106, 06   10, 32 y   y                .  Ví dụ 2.   Cho tam giác   ABC   . Trên cạnh   AB   lấy điểm   D   sao cho   8 AD   cm    và   4 DB   cm    . Tính tỉ  số khoảng cách từ các điểm   D   và   B      AC   .  Lời giải   (hình 272)  Kẻ   DH   và   BK   cùng vuông góc với   AC   thì   DH   BK    và   , DH BK  lần lượt là khoảng cách từ các điểm   D   và   B      AC   .     DH   BK    thu được   DH   AD  BK   AB    hay   8   2  12   3  DH  BK         .  Ví dụ 3.   Hãy chia đoạn   AB   cho trước thành   5     vậy? Hãy nêu rõ cách làm.  Lời giải   (hình 273)  Có hai cách chia một đoạn   AB   cho trước thành   5   phần bằng nhau.  Cách 1:   Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét.  Kẻ đường thẳng   a   AB    .  Từ điểm   C   bất kì trên   a   , đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau:  CD   DE   EF   FG   GH             .  Gọi   O   là giao điểm của   AH   và   BC   .  Vẽ các đường thẳng   ,   ,   , DO EO FO GO   cắt   AB   theo thứ tự ở   ,   ,   , I K L M  thì các điểm này chia đoạn   AB   thành   5   phần bằng nhau. Thật vậy:     , CD   MB GH   AI       , ta được:  CO   CD   HO   HG  OB   MB   OA   AI          MB   AI       do   CD   GH    .  Chứng minh tương tự, ta được:   AI   IK   KL   LM   MB             .  Cách 2:   Sử dụng tính chất của đường thẳng song song cách đều.  Kẻ tia   Ax   , trên đó đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau:  CD   DE   EF   FG   GH             .  Nối   GB   . Từ   ,   ,   , C D E F   kẻ các đường thẳng song song với   GB   , chúng cắt  AB   lần lượt ở   ,   ,   , I K L M   thì   CI   ,   ,   ,   , DK EL EM GB   lằ năm đường thẳng  song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng   AB   những đoạn  thẳng liên tiếp bằng nhau là   AI   IK   KL   LM   MB             .

Chuyên đề định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  DIỆN TÍCH ĐA GIÁC  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT    tích rồi tính tổng các diện tích đó; hoặc tạo ra một đa giác nào đó có chứa đa giác ấy rồi tính hiệu  các diện tích.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Tính diện tích đa giác  Phương pháp giải: Đưa về tính tổng các diện tích hoặc hiệu các diện tích.  1.   Tính diện tích đa giác ABCDE trong hình 1 (mỗi ô vuông nhỏ cạnh bằng 1cm).  2.   Tính diện tích tam giác ABC trong hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ cạnh bằng 1cm).  Dạng 2. Tính diện tích của đa giác bất kì  Phương pháp giải:     3.   Cho hình bình hành ABCD có CD = 4cm, đường cao vẽ từ A đến cạnh CD bằng 3cm.  a) Tính diện tích hình bình hành ABCD;  b) Gọi M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác ADM;  c) DM cắt AC tại N. Chứng minh DN = 2NM;  d) Tính diện tích tam giác AMN.2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  4.   Tính diện tích tứ giác ABCD, biết      0  60 C      , CA là phân giác của    C   và CA = 4cm, CB = 3cm, CD  = 5cm.  5.   Cho tứ giác ABCD có diện tích 60cm 2 . Trên cạnh AB lấy các điểm E, F sao cho AE = EF = FB.  Trên cạnh CD lấy các điểm G, H sao cho CG = GH = HD.  a) Tính tổng diện tích các tam giác ADH và CBF.  b) Tính diện tích tứ giác EFGH.  6.   Cho tứ giác ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, gọi F là trung điểm của CD, gọi I là giao điểm  của AF, DE và gọi K là giao điểm của BF, CE. Chứng minh:  a) S EDC   = S ADF   + S BCF .  b) S EIFK   = S AID   + S BKC .  Dạng 3. Dựng tam giác có diện tích bằng diện tích một đa giác  Phương pháp giải:   Thường kẻ đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước để tạo ra một  tam giác mới có diện tích bằng diện tích một tam giác cho trước.  7.   Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng tam giác ABE (E      AD) có diện tích bằng diện tích tứ giá ABCD.  8.   Cho tứ giác ABCD. Hãy kẻ đường thẳng đi qua A và chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện  tích bằng nhau.  HƯỚNG DẪN  1.   S ABCDE  = S MNPQ   - S ABM   - S BCN   -S AQE   - S DCP  = 24 - 12 = 12cm 2  2.   Tương tự   1.  S ABC   = 3cm 2  3.  a) S ABCD   = 3.4 = 12cm 2  b) AM = 2cm  S ADM   =   1  2   .3.2 = 3 (cm 2 )  c) Gọi    O    = AC      BD  Chứng minh N là trọng tâm của    ADB:  2   1  2   .  3   3  DN   DM   DN   NM hay NM   MD             

Chuyên đề diện tích đa giác

1.   TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Hình 259  E D  B   C  A    I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  1.   Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng đơn vị đo (tỉ số này  không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo).  2.     Hai đoạn thẳng   AB   và   CD   gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng   A B       và   C D       nếu có tỉ lệ thức  AB   A B  CD   C D                hay   AB   CD  A B   C D                .  3.     Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và  cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn  thẳng tương tứng tỉ lệ.  ,   ,  ABC   AD   AE   DB   EC   AD   AE  DE   BC   AB   AC   BA   CA   DB   EC                                .  4.   Nhớ lại tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau  a)   Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số   a   c  b   d     .  b)   Tính chất  Tính chất 1   (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Nếu   a   c  b   d     thì   ad   bc    .  Tính chất 2:   Nếu   ad   bc    và   0 abcd      thì ta có bốn tỉ lệ thức sau:  ;   ;   ;  a   c   a   b   d   c   d   b  b   d   c   d   b   a   c   a              .  c)   Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau  Từ dãy tỉ số bằng nhau   a   c   e  b   d   f        , suy ra   a   c   e   a   c   e   a   c   e  b   d   f   b   d   f   b   d   f                                    .  5.   Từ định lí Ta-lét ta thu được kinh nghiệm thứ năm2.   TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  A   C   B  8  3   5  Hình 260  Cứ nói đến tỉ số của hai đoạn thẳng phải nghĩ đến định lí Ta-lét, ta cứ nói đến định lí Ta-lét phải  nghĩ đến đường thẳng song song.    phải vẽ thêm đường phụ, ta vẽ thêm đường thẳng song song để sử dụng định lí Ta-lét.  II.BÀI TẬP MINH HỌA  A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN  DẠNG 1.   Tính tỉ số hai đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước  I.   PHƯƠNG PHÁP GIẢI  1.   Sử dụng định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.  2.   Một điểm   C   thuộc đoạn thẳng   AB   (hoặc đường thẳng   AB   ), được gọi là chia đoạn  thẳng   AB   theo tỉ số   1  m  n      (   , m n   là các số dương), nếu ta có:   CA   m  CB   n     .  3.   Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học:  Nếu ta có:   CA   m  CB   n     thì   CA   mt  CB   nt                   (với   0 t      )  4.   Lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng  nhau.  II.   VÍ DỤ  Ví dụ 1.      C   thuộc đoạn thẳng   AB   và chia   AB   theo tỉ số   3  5   . Hãy tính các tỉ số:  ;  AB   AB  AC   CB   .  Lời giải   (hình 260)  Vì   C   chia đoạn   AB   theo tỉ số   3  5   nên:  3 3  5 5  CA   t CA  CB   t CB                         với   0 t      .  Do đó   8 AB   AC   CB   t          . Vậy   8   8   8   8  ,  3   3   5   5  AB   t   AB   t  AC   t   CB   t              .

Chuyên đề định lí Ta-lét trong tam giác

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Khái niệm diện tích đa giác  * Số đo phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó.  * Mỗi đa giác có một diện tích là một số dương xác định.  * Diện tích đa giác có các tính chất sau:  - Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.  - Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó  bằng tổng diện tích của những đa giác đó.  - Nếu chọn hình vuông có cạnh 1 cm, 1 dm, 1 m,... làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích của  hình vuông đó tương ứng là 1 cm 2 ,1 dm 2 ,1 m 2 ,...  2. Công thức tính diện tích một số hình cơ bản    Ta có:  S = a.b,  với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.    Ta có:  S = a 2 ,  với a là độ dài cạnh của hình vuông.    Ta có:  S =   1  2   a.b,  với a, b là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.  Diện tích tam giác thường bằng nửa tích một cạnh và chiều cao hạ xuống cạnh đó:  1   1   1  .   .   .  2   2   2  a   b   c S   a h   b h   c h         Với   a,b,c   là độ dài các cạnh của tam giác và   h a ,h b ,h c   là độ dài đường cao tương ứng hạ xuống cạnh    II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Tính diện tích đa giác  Phương pháp giải:   Sử dụng ba khái niệm diện tích của đa giác.  1.   Cho hình bình hành   ABCD, M   là trung điểm của cạnh   BC.   Tia   AM   cắt tia DC tại điểm   E.   Chứng  minh   S ABCD   = S AED .  2.   Cho hình bình hành   ABCD.   Từ   A   và C kẻ   AH   và   CK   vuông góc với đường chéo   BD.   Chứng minh:  a)   D   ; ABCH   A   CK S   S    b)   . ABCK   ADCH S   S   Dạng 2. Diện tích hình chữ nhật  Phương pháp giải:   Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.  3.   Cho hình chữ nhật có chu vi 320   cm,   diện tích 6000   cm 2 .   Tính chiều dài và chiều rộng của hình  chữ nhật đó.  4.   Tính diện tích hình chữ nhật có đường chéo   d   = 40   cm   và các cạnh của nó tỉ lệ với hai số 3 và 4.  5.   Hình chữ nhật có diện tích 6000   cm 2 .   Nếu chiều dài tăng thêm 20   cm   còn chiều rộng giảm 5   cm  thì diện tích tăng 600   cm 2 .   Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.  6.   Một thửa đất hình chữ nhật. Nếu chiều dài tăng 20   an   còn chiều rộng giảm 5   cm   thì diện tích tăng  600   cm 2 .   Nếu chiều dài giảm 10   cm   còn chiều rộng tăng 10   cm   thì diện tích tăng 300   cm 2 .   Tính chu  vi hình chữ nhật ban đầu.  Dạng 3. Diện tích hình vuông  Phương pháp giải:   Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông.  7.   Một hình chữ nhật có diện tích 350   cm 2   và hai cạnh tỉ lệ vói các số 2 và 7. Tính diện tích hình  vuông có cùng chu vi vói hình chữ nhật.  8.   Diện tích một hình vuông tăng thêm bao nhiêu % nếu mỗi cạnh của nó tăng thêm 20%?  Dạng 4. Diện tích tam giác vuông  Phương pháp giải:   Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông và định lí Pytago.  9.   Cho tam giác   ABC   vuông tại   A có BC = 10 cm   và   AC   = 6   cm.   Tính diện tích tam giác   ABC.  10.   Tính diện tích một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13   cm   và tổng hai cạnh góc vuông bằng  17cm.  Dạng 4.Tổng hợp các dạng trên  11.   Cho hình chữ nhật   ABCD   có   AD = 7 cm, BD   = 25   cm   và O là giao điểm của hai đuờng chéo. Gọi  M,   N, P, Q   theo thứ tự là trung điểm của   OA, OB, OC, OD.   Tính diện tích tứ giác   MNPQ.  12.   Một hình thang cân có hai đuờng chéo vuông góc với nhau, độ dài đuờng chéo bằng 6   cm.   Tính  diện tích tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang cân đó.

Chuyên đề diện tích hình chữ nhật

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT     Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác    GT  ABC,   A 'B 'C '  AB   BC   CA  A 'B '   B 'C '   C ' A '            KL   ABC   A 'B 'C '       II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng  Phương pháp giải:     của hai tam giác và chứng minh chúng bằng nhau, từ đó ta được ĐPCM.  1.   Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không? Tại sao?  a) 4cm, 5cm, 6cm và 8mm, 1cm, 12mm.  b) Tam giác ABC vuông tại A, có   AB   cm,AC   8cm       và tam giác   A 'B 'C '   vuông tại   A '   ,  có   A 'B '   9cm,B 'C'   16 cm.      2.   Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không? Tại sao?  a) 24cm, 21cm, 27cm và 28dm, 36dm, 32dm.  b) Tam giác ABC và tam giác DEF có   AB   BC   CA  3   4   5        và   DE   FD   EF   .  6   9   8       3   Cho tam giác ABC vuông tại A có   BC   10cm, AC   8cm       và tam giác   A 'B 'C '   vuông tại  A '   có   B'C '   5cm,A 'C '   4cm.      a) Chứng minh   ABC   A 'B 'C '        .  b) Tính tỉ số chu vi của   ABC    và   A 'B ' C '    .  4.   Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác   A 'B ' C '   vuông tại   A '   có   AB   BC   2  A 'B '   B 'C '        .  Chứng minh:  a)   CA   2  C ' A '      và   ABC   A 'B 'C '        .  b) Tỉ số chu vi của   ABC    và   A 'B 'C '    bằng 2.  Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất để tính độ dài các cạnh hoặc chứng  minh các góc bằng nhau  Phương pháp giải:   Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất (nếu cần) để chứng minh hai  tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.  C' B'  A'  C B  A2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  5.   Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác   A 'B ' C '   . Cho biết   AB   6cm,   BC   10cm, AC   14cm       và chu vi tam giác   A 'B ' C '   bằng 45cm. Hãy tính độ dài các cạnh  của tam giác   A ' B 'C '   .  6.   Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tỉ lệ với   4 : 5 : 6   . Cho biết   DEF   ABC        và  cạnh nhỏ nhất của   DEF    là   0,8m   , hãy tính các cạnh còn lại của   DEF    .  HƯỚNG DẪN  1.   a) Đổi sang đơn vị mm, ta lập được tỉ số:  Từ đó kết luận hai tam giác đồng dạng.  b) Theo định lý Pytago, tính được BC = 10cm.  Vì   nên hai tam giác không đồng dạng.  2.   Sắp xếp các cạnh của mỗi tam giác theo thứ tự tăng dần rồi mới lập tỉ số, ta được hai  tam giác đã cho đồng dạng.  b) Đặt    Lập tỉ số các cặp cạnh tương ứng, dẫn tới kết luận hai tam giác không đồng dạng.  3.   a) Tính được AB = 6cm, A'B' = 3cm. Từ đó tìm được:  nên   theo tỉ số đồng dạng là 2.  b) Ta có   , nên tỉ số chu vi của   và  là 2.  4.   a) Ta có        b) HS tự làm.  5.   Ta có:  Từ đó tính được A'B' = 9cm, B'C' = 15cm, A'C' = 21cm.  6.   Vì   nên   cũng có độ dài các cạnh tỉ lệ với 4 : 5 : 6.  40   50   60   5  8   10   12          2   5  '   '   3   8   '   '  AB   BC  A B   B C          0   3 ,   4 ,   5  3   4   5  AB   BC   CA   k   AB   k BC   k CA   k                        0   6 ,   8 ,   9  6   9   8  DE   FD   EF   t   DE   t EF   t FD   t                        2  '   '   '   '   '   '  AB   BC   CA  A B   B C   C A           '   '   ' ABC   A B C       2  '   '   '   '   '   '   '   '   '   '   '   '  AB   BC   AC   AB   BC   CA  A B   B C   A A   A B   B C   C A                         ABC   '   '   ' A B C   2   2   2   2   2  2   2   2   2   2  4  '   '   '   '   '   '   '   '   '   '  BC   AB   BC   AB   AC  B C   A B   B C   A B   A C                 2  '   '   '   '   '   '   '   '   '   '   3  AB   BC   AB   BC   CA  A B   B C   A B   B C   C A                    DEF   ABC        DEF 

Chuyên đề trường hợp đồng dạng thứ nhất

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  DIỆN TÍCH HÌNH THANG  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  * Diện tích hình thang   bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao:  S =   1  2   (a + b).h  * Diện tích hình bình hành   bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó:  S = a.h.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Tính diện tích hình thang  Phương pháp giải:   Sử dụng công thức tính diện tích hình thang:  S   =   1  2   (a + b).h,  trong đó   a   và   b   là độ dài các cạnh đáy,   h   là chiều cao.  1.   Tính diện tích hình thang   ABCD,   biết       A   D    =   90°,    C   = 45°,   AB =   1   cm, CD =   3   cm.  2.   Cho hình thang   ABCD   có       A   D    = 90°,   AB   = 3   cm, BC = 5cm, CD   = 6   cm.   Tính diện tích hình  thang.  3.   Cho hình thang cân   ABCD (AB//CD, AB < CD).   Kẻ đường cao   AH.  Biết   AH   = 8   cm, HC   = 12   cm.   Tính diện tích hình thang   ABCD.  4.   Cho hình thang cân   ABCD   ( AB//CD, AB < CD ). Biết   AB =   10   cm, CD =   20   cm, AD =   13   cm.  Tính diện tích hình thang   ABCD.  5.   Cho hình thang   ABCD   ( AB//CD ) có   AB = 2cm, BC = 8cm,   CD = 9 cm   và    C   =   30°. Tính diện  tích hình thang   ABCD.  6.   Cho hình thang   ABCD   có hai đáy   AB = 5cm, CD   = 15   cm   và hai đường chéo là   AC = 16 cm, BD  =   12   cm.   Tính diện tích hình thang   ABCD.  Dạng 2. Tính diện tích hình bình hành  Phương pháp giải:   Sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành.  7.   Cho hình bình hành   ABCD   có cạnh   AB   =   10   3 cm   , AD = 8cm,    A      60°. Tính diện tích của hình  bình hành.  8.   Tính các góc của hình bình hành   ABCD   có diện tích 30   cm 2 ,   AB =   10   cm, AD   = 6   cm,       A   D 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  9.   Cho hình bình hành   ABCD.   Gọi   P, Q, R, S   lần lượt là trung điểm của các cạnh   CD, DA, AB, BC.     DR   cắt   CQ, CA, SA   theo thứ tự tại   H, I, G.      BP   cắt   SA, AC, CQ   theo thứ tự tại   F, J, E.  Chứng minh:  a) Tứ giác   EFGH   là hình bình hành;  b ) A I = IJ = JC;   c)   EFGH   ABCD  1  S   S  5    10.   Cho hình bình hành   ABCD   có diện tích là   S.   Gọi M là trung điểm của   BC.   Gọi   N   là giao điểm  của   AM   và   BD.   Tính diện tích tứ giác   MNDC   theo   S.  Dạng 3. Tìm vị trí của một điểm để thỏa mãn một đẳng thức về diện tích  Phương pháp giải:   Dùng công thức tính diện tích dẫn đến điều kiện về vị trí điểm, thường liên quan    11.   Cho hình thang   ABCD   ( AB//CD ) và   AB < CD.   Gọi   E   là điểm bất kỳ trên cạnh   AB.   Xác định vị  trí điểm   F   trên cạnh CD để   S AEFD   v = S BCFE .  12.   Cho hình thang   ABCD   ( AB//CD ) và   AB < CD.   Xác định   R, S   lần lượt trên các cạnh   AB, CD   sao  cho   S ARSD   = 3 S BCSR .  Dạng 4. Tìm diện tích lớn nhất (nhỏ nhất) của một hình  Phương pháp giải:  - Kí hiệu maxS là giá trị lớn nhất của biểu thức   S,   minS là giá trị nhỏ nhất của biểu thức S.  - Sử dụng tính chất đường vuông góc ngắn hcm đường xiên.  - Nếu diện tích của một hình luôn nhỏ hon hoặc bằng một hằng số M và tồn tại một ví trí của hình    Tương tự với trường hợp diện tích nhỏ nhất.  13.   Cho hình thang   ABCD   có đáy   AD =   4   cm,      5cm.   Tính diện tích lớn nhất  của hình thang.  14.   Trên đường chéo   AC   của hình vuông ta lấy một điểm   E   (E ≠   A,C ). Đường thẳng qua   E   và song  song với   AB   cắt   AD   và   BC   theo thứ tự tại các điểm   Q, N.      BC  cắt   AB   và CD theo thứ tự tại   P, M.  a) Chứng minh tứ giác   MNPQ   là hình thang cân.  b) So sánh   S MNPQ   và   S ABCD .  c) Xác định vị trí của E để hình thang   MNPQ   có chu vi nhỏ nhất.  HƯỚNG DẪN

Chuyên đề diện tích hình thang

Hình 97  C D  A   B  b)  a)  Hình 98  D   C  B A  D  B  O A   C  HÌNH VUÔNG  I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  1.     Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng  nhau (hình 97).  Tứ giác   ABCD   là hình vuông              0  90 A   B   C   D  AB   BC   CD   DA                                     .  Từ định nghĩa hình vuông suy ra hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.  2.   Tính chất  Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.  3.   Dấu hiệu nhận biết  Ba dấu hiệu từ hình chữ nhật:     Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.     Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.     Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác thì nó là hình vuông.  Hai dấu hiệu từ hình thoi:     Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.     Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.  Nhận xét:   Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.  4.   Cách vẽ hình vuông  Có năm cách vẽ hình vuông, nhưng hay dùng hai cách sau:Hình 99  45°  45°  F  E   D  A   C  B  a  a   a  Hình 100  N M  F   C D  E A   B  Cách 1   (hình 98a): Vẽ một đường chéo, dựng đường trung trực của đường chéo đó. Lấy trung điểm vừa  dựng làm tâm vẽ đường tròn có đường kính bằng đường chéo vừa vẽ, nó cắt đường trung trực tại hai điểm ta    Cách 2   (hình 98b): Sử dụng lưới ô vuông để vẽ tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.  Lưu ý:     Cách 1 chứng minh được là hình vuông.     Cách 2 không chứng minh được là nhận được hình vuông, chỉ là ảnh hình vuông.  II.CÁC DẠNG BÀI TẬP  A. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA  Dạng 1.   Nhận dạng hình vuông  Phương pháp giải  Sử dụng một trong hai cách sau:  Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo  vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc.  Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng  nhau.  Bài 1.   Cho hình 99, tứ giác   AEDF   là hình gì? Vì sao?  Lời giải  Tứ giác   AEDF   là hình vuông.  Giải thích:  Theo hình vẽ thì            0  90 A   E   F          . Tứ giác   AEDF   có ba góc  vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật   AEDF   có   AD  là đường phân giác của góc   A   nên nó là hình vuông.  Bài 2.   Cho hình chữ nhật   ABCD   có   2 AB   AD    . Gọi   , E F   lần lượt là trung điểm của   AB   và   CD   . Gọi   M  là giao điểm của   AF   và   DE   ,   N   là giao điểm của   BF   và   CE   .  a)   Tứ giác   ADFE   là hình gì? Vì sao?  b)   Tứ giác   MENF   là hình gì? Vì sao?  Lời giải   (hình 100)     AD   a    thì   2 AB   a    .     ABCD   ,  ta được   AE   EB   BC   CF   FA   a                .  a)   Tứ giác   ADFE   là hình vuông.  Giải thích:   Vì tứ giác   ADFE   có bốn cạnh bằng nhau nên nó  là hình thoi.

Chuyên đề hình vuông

DIỆN TÍCH HÌNH THOI  I. KIẾN THỨC CƠ BẢN     Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai    1   .   D  2  S   AC B      Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo hoặc bằng  tích của một cạnh với chiều cao.  1   .   D= AD.BH  2  S   AC B   II.MỘT SỐ DẠNG BÀI  Dạng 1: Tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc  Bài 1:   Cho hình thang cân   ABCD(AB / / CD)   có    AC   BD   , đường trung bình bằng d. Tính diện  tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang cân đó.  Bài 2:   Cho hình chữ nhật   ABCD   có       AD   12cm; AB   18cm   . Các đường phân giác các góc của  hình chữ nhật cắt nhau tạo thành tứ giác   EFGH   .  a) Chứng minh rằng   EFGH   là hình vuông.  b) Tính diện tích hình vuông   EFGH   .  Dạng 2: Tính diện tích hình thoi  Bài 3 : Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 2cm và một trong các góc của nó bằng   0  30   .  Bài 4:   Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng   a   , góc tù bằng   0  150   .  Bài 5:   Cho hình thoi   ABCD   . Gọi H, K là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến CD, BC. Chứng  minh rằng    AH   AK   .  Bài 6:   Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm, tổng hai đường chéo bằng 46cm.  Bài 7:   Cho hình thang cân   ABCD(AB / / CD)   có E, N, G, M lần lượt là trung điểm của AB, BC,  CD, DA.  a) Tứ giác   MENG   là hình gì?  b) Cho      2  ABCD  S   800m   Tính   MENG  S   ?  Bài 8:   Tùng làm một cái diều có thân là hình tứ giác ABCD. Cho biết AC là trung trực của BD và   AC   90cm   ,    BD   60cm   . Em hãy tính diện tích thân diều.Dạng 3: Tìm diện tích lớn nhất (nhỏ nhất) của một hình  Bài 9:   So sánh diện tích của một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi.  Bài 10:   Cho hình thoi   ABCD   . Chứng minh      2  AC.BD   2AB   .

Chuyên đề diện tích hình thoi

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  DIỆN TÍCH TAM GIÁC  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  * Diện tích tam giác   bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng  * Lưu ý:  1   . .  2  S   a h   - Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số các chiều cao  tương ứng.  - Nếu hai tam giác có một đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số các cạnh  tương ứng.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Tính toán, chứng minh về diện tích tam giác  Phương pháp giải:   Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.  1.   Cho tam giác   ABC   và đường trung tuyến   AM.   Chứng minh   S AMB   = S AMC .  2.   Cho tam giác   ABC,   các đường trung tuyến   AM, BN, CP   cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh:  a)   S AGP   = S PGB   = S BGM   = S MGC   = S CGN   = S NGA ;  b) Các tam giác   GAB, GBC   và   GCA   có diện tích bằng nhau.  3.   a) Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh bên là   a   và cạnh đáy là   b.  b) Tính diện tích của tam giác đều có cạnh là   a.  4.   Cho tam giác   ABC   có đáy   BC =   60   cm,   chiều cao tương ứng 40   cm.   Gọi D,   E   theo thứ tự là trung     AB, AC.   Tính diện tích tứ giác   BDEC.  Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng bằng cách sử dụng công thức tính diện tích tam giác  Phương pháp giải:   Từ công thức   1   .  2  S   a h    , suy ra   2 S  a   h     và   2   .  S  h   a    5.   Cho tam giác   ABC   cân tại   A   có cạnh đáy   BC   = 60   cm,      AH   = 40   cm.   Tính đường cao  tương ứng với cạnh bên.2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  6.   Một tam giác cân có đường cao ứng vói cạnh đáy bằng 15   cm,     20   cm.   Tính các cạnh của tam giác đó (chính xác đến 0,1   cm).  Dạng 3. Sử dụng công thức tính diện tích để chứng minh các hệ thức  Phương pháp giải:   Phát hiện quan hệ về diện tích trong hình rồi sử dụng các công thức tính diện  tích.  7.   Cho tam giác   ABC   vuông tại   A,      AH.   Chứng minh:  AH.BC = AB.AC.  8.   Cho   tam   giác   nhọn   ABC,   các      cao   AD,   BE,   CF   cắt   nhau   tại   H.   Chứng   minh  1.  HD   HE   HF  AD   BE   CF          Dạng 4. Tìm vị trí của một điểm để thỏa mãn một đẳng thức về diện tích  Phương pháp giải:   Dùng công thức tính diện tích dẫn đến điều kiện về vị trí điểm, thường liên quan    9.   Cho tam giác   ABC.   Hãy chỉ ra vị trí của điểm   M   trong tam giác đó sao cho   S MAB   + S MAC   =S MBC .  10.   Tam giác   ABC   có   BC   = 6   cm.   Lấy điểm   M   trên cạnh   AC   sao cho   AM =   1  3   AC.   Xác định vị trí     N   trên   BC   sao cho   MN   chia tam giác   ABC   thành hai phần thỏa mãn tứ giác   AMNB   có diện tích  gấp 3 lần diện tích   MNC.  Dạng 5. Tìm diện tích lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hình  Phương pháp giải:     hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.  Lưu ý:  - Nếu diện tích của một hình luôn nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số M và tồn tại một vị trí của hình    - Nếu diện tích của một hình luôn lớn hơn hoặc bằng một hằng số   m   và tồn tại một vị trí của hình để  diện tích bằng   m   thì   m   là diện tích nhỏ nhất của hình.  11.   Tìm diện tích lớn nhất của tam giác   ABC có AB = 3cm, BC = ịcm.  12.   Tính diện tích lớn nhất của tam giác vuông   ABC   có cạnh huyền   BC = a.

Tài liệu Toán 8